Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求直线AB和OB的解析式．
（2）求抛物线的解析式．
（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：解方程x2﹣2x﹣3=0，

得 x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

设直线AB的解析式为y=kx+b

∴ ，

解得： ，

所以直线AB的解析式为y=﹣ x﹣ ；

设直线OB的解析式为y=kx，

∴3k=﹣3，

解得：k=﹣1，

∴直线OB的解析式为y=﹣x

（2）解：∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x

（3）解：△BOD的面积是存在最大值；

过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．

设Q（x，﹣x），D（x，﹣ x2+ x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= DQOG+ DQGH，

= DQ（OG+GH），

= [x+（﹣ x2+ x）]×3，

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵0＜x＜3，

∴当x= 时，S取得最大值为 ，此时D（ ，﹣ ）

【解析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，利用待定系数法确定直线AB和直线OB的解析式即可；（2）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（3）利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．