Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AD、OD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线

（2）解：设⊙O的半径为R，

∵OD∥AE，

∴△FOD∽△FAE，

∴ = ，即 = ，

解得R=4，

∴⊙O的面积=π42=16π．

【解析】（1）连结AD、OD，根据圆周角定理可得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，依据三角形的中位线定理可得到OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，最后，根据切线的判定定理进行证明即可；
（2）设⊙O的半径为R，利用OD∥AE得到△FOD∽△FAE，然后依据相似三角形对应边成比例可得到关于R的方程，从而可求得R的值，然后利用圆的面积公式求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)的相关知识才是答题的关键．