Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1 ， x2 ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵原方程有两个实数根，

∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0

∴1﹣4k≥0，

∴k≤ ．

∴当k≤ 时，原方程有两个实数根

（2）解：假设存在实数k使得 ≥0成立．

∵x1，x2是原方程的两根，

∴ ．

由 ≥0，

得 ≥0．

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有当k=1时，上式才能成立

又∵由（1）知k≤ ，

∴不存在实数k使得 ≥0成立

【解析】（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得 ≥0成立．利用根与系数的关系可以求得 ，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式 ≥0，通过解不等式可以求得k的值．