Question

【题目】(如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

（1）求证:△DBC≌△EAC；

（2）求证:AE∥BC；

（3）如图2, 若D在边BA的延长线上,且AB=6,AD=2,试求△ABC与△EAC面积的比值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析，（2）详见解析，（3）.

【解析】

（1）已知的条件有AC=BC，CE=CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了（SAS）；
（2）要证AE∥BC，关键是证∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么关键是证∠EAC=∠ACB，根据（1）的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．

（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通过先证明△BCD和△ACE全等，即可得到△ABC与△EAC面积的比值.

(1)证明：∵∠ACB=60°,∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°∠ACD,∠ACE=60°∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC(SAS)，

(2)∵△DBC≌△EAC,

∴∠EAC=∠B=60°,

又∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC；

（3）结论：AE∥BC，

理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形，

∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°，

∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC(SAS)，

∴∠EAC=∠B=60°,AE=BD

又∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC；

设AE,BC两平行线间的距离为h

∵AB=6,AD=2,

∴S△ABC=BCh=×6h=3h,

S△ACE=AEh=×8h=4h

∴S△ABC∶S△AEC=

则△ABC与△EAC面积的比值为.