Question

【题目】如图，是的角平分线，，是的角平分线，

（1）求；

（2）绕点以每秒的速度逆时针方向旋转秒（），为何值时；

（3）射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，若射线同时开始旋转秒（）后得到，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠COE =20°；（2）当=11时，；（3）m=或

【解析】

（1）根据角平分线的定义和垂直定义即可求出∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE =45°，即可求出∠AOB，再根据角平分线的定义即可求出∠BOC，从而求出∠COE；

（2）先分别求出OC与OD重合时、OE与OD重合时和OC与OA重合时运动时间，再根据t的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出t即可；

（3）先分别求出OE与OB重合时、OC与OA重合时、OC为OA的反向延长线时运动时、OE为OB的反向延长线时运动时间，再根据m的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出m即可；

解：（1）∵，是的角平分线，

∴∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE=∠BOD =45°

∵

∴∠AOB=∠AOE＋∠BOE=130°

∵是的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC==65°

∴∠COE=∠BOC－∠BOE=20°

（2）由原图可知：∠COD=∠DOE－∠COE=25°，

故OC与OD重合时运动时间为25°÷5°=5s；OE与OD重合时运动时间为45°÷5°=9s；OC与OA重合时运动时间为65°÷5°=13s；

①当时，如下图所示

∵∠AOD=∠AOB－∠BOD=40°，∠COE=20°

∴∠AOD≠∠COE

∴∠AOD＋∠COD≠∠COE＋∠COD

∴此时；

②当时，如下图所示

∵∠AOD=∠AOB－∠BOD=40°，∠COE=20°

∴∠AOD≠∠COE

∴∠AOD－∠COD≠∠COE－∠COD

∴此时；

③当时，如下图所示：

OC和OE旋转的角度均为5t

此时∠AOC=65°－5t，∠DOE=5t－45°

∵

∴65－5t=5t－45

解得：t=11

综上所述：当=11时，．

（3）OE与OB重合时运动时间为45°÷5°=9s；OC与OA重合时运动时间为65°÷10°=6．5s； OC为OA的反向延长线时运动时间为（180°＋65°）÷10=24．5s；OE为OB的反向延长线时运动时间为（180°＋45°）÷5=45s；

①当，如下图所示

OC旋转的角度均为10m， OE旋转的角度均为5m

∴此时∠AOC=65°－10m，∠BOE=45°－5m

∵

∴65－10m =（45－5m）

解得：m =；

②当，如下图所示

OC旋转的角度均为10m， OE旋转的角度均为5m

∴此时∠AOC=10m－65°，∠BOE=45°－5m

∵

∴10m－65=（45－5m）

解得：m =；

③当，如下图所示

OC旋转的角度均为10m， OE旋转的角度均为5m

∴此时∠AOC=10m－65°，∠BOE=5m－45°

∵

∴10m－65=（5m－45）

解得：m =，不符合前提条件，故舍去；

综上所述：m=或．