Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，M是AB的中点．
（1）求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）求点M到平面A1CB1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：（Ⅰ）由A1A⊥平面ABC，CM平面ABC，则A1A⊥CM．

由AC=CB，M是AB的中点，则AB⊥CM．

又A1A∩AB=A，则CM⊥平面ABB1A1，

又CM平面A1CM，

所以平面A1CM⊥平面ABB1A1．

（2）解：（Ⅱ）设点M到平面A1CB1的距离为h，

由题意可知 ， ， ．

由（Ⅰ）可知CM⊥平面ABB1A1，得：

，

所以，点M到平面A1CB1的距离 ．

【解析】（Ⅰ）推导出A1A⊥CM，AB⊥CM．由此能证明平面A1CM⊥平面ABB1A1 ． （Ⅱ）设点M到平面A1CB1的距离为h，由 ，能求出点M到平面A1CB1的距离．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．