Question

【题目】已知抛物线E：y2=4x的准线为l，焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点O，F，且与l相切的圆的方程；
（2）过F的直线交抛物线E于A，B两点，A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线E：y2=4x的准线l的方程为：x=﹣1，焦点坐标为F（1，0），

设所求圆的圆心C（a，b），半径为r，∵圆C过O，F，

∴ ，∵圆C与直线l：x=﹣1相切，

∴ ．

由 ，得 ．

∴过O，F，且与直线l相切的圆的方程为

（2）

解：证明：解法一：依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），A′（x1，﹣y1），

联立 ，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

∴ ，x1x2=1．

∵直线BA′的方程为 ，

∴令y=0，得 ．

直线BA′过定点（﹣1，0），

解法二：直线BA′过定点M（﹣1，0）．

证明：依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），A′（x1，﹣y1），

联立 ，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

∴ ，x1x2=1．

∵ ，

∵x2y1+x1y2+y1+y2=k（x1﹣1）x2+k（x2﹣1）x1+k（x1+x2﹣2）=2kx1x2﹣2k=2k1﹣2k=0．

∴kA′M﹣kBM=0，即kA′M=kBM=0，A′、B、M三点共线，

∴直线BA′过定点（﹣1，0）．

解法三：设直线AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，﹣y1）．

由 得，y2﹣4my﹣4=0．

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∵ ，

∴直线BA′的方程为 ．

∴ = ．

∴直线BA′过定点（﹣1，0）．

【解析】（1）由题意求得焦点及准线方程，即可求得圆心，利用点到直线的距离公式，即可求得半径，即可求得圆的方程；（2）方法一：设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，求得直线BA′的方程为，当y=0，求得x=﹣1，则直线BA′过定点（﹣1，0）；方法二：设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理求得kA′M﹣kBM=0，则kA′M=kBM=0，A′、B、M三点共线，则直线BA′过定点（﹣1，0）；方法三：设线AB的方程：x=my+1，求得直线BA′的方程为，利用韦达定理可得y= ，则直线BA′过定点（﹣1，0）．