Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO=CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE=CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形;

（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，所以四边形ABCD是菱形，∠BAD=2∠BAO=90°，即四边形ABCD是正方形．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

∵△ACE是等边三角形，

∴AE=CE．

∴BE⊥AC．

∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：△AOE是直角三角形，

∴∠AEB+∠EAO=90°

∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAO=60°，

∴∠AEB=30°

∵∠AEB=2∠EAB，

∴∠EAB=15°，

∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．

又∵四边形ABCD是菱形．

∴∠BAD=2∠BAO=90°

∴四边形ABCD是正方形．