Question

【题目】如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm,且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP＝________cm.

Answer 1

【答案】4

【解析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，再根据已知条件△ABC的面积为32cm2，即可求得△APB的面积，再根据面积公式即可求得AP的长．

如图所示：延长AP交BC于E，

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，

∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴S△ABP=S△EBP，AP=EP，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∵S△ABP=3S△APC，
∴S△EBP=3S△PCE，
设S△PCE=x,则S△APC＝x, S△ABP=S△EBP=3x,

∵△ABC的面积为32cm2
∴x+x+3x+3x=32,

∴x=4，

∴S△ABP＝13.

∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，

∴S△ABP＝＝12

又∵BP＝6cm

∴AP=4