Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交BC于点D．tan∠OAD=2，抛物线过A，D两点．

（）求点D的坐标和抛物线M1的表达式．

（）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有满足条件的点P的坐标．

（）如图，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m(m>0)个单位得到抛物线M2．

①设点D平移后的对应点为点D'，当点D'恰好落在直线AE上时，求m的值．

②当时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）D（1，6），抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x；（2）（2，3+），（2，3﹣）；（3）①m＝3，②2+≤m＜

【解析】

（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA＝90°，可得PC2+PA2＝AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，解方程即可；

（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x＝m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．

解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．

∵四边形CDHO是矩形，

∴OC＝DH＝6，

∵tan∠DAH＝＝2，

∴AH＝3，

∵OA＝4，

∴CD＝OH＝1，

∴D（1，6），

把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，则有，

解得，

∴抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x．

（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．

∵∠CPA＝90°，

∴PC2+PA2＝AC2，

∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，

解得m＝3±，

∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．

（3）①如图2中，

易知直线AE的解析式为y＝﹣x+4，

x＝1时，y＝3，

∴D′（1，3），

平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣m，

把点D′坐标代入可得3＝﹣2+8﹣m，

∴m＝3．

②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0，

当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，

∴92﹣4×2×（4+m）＞0，

∴m＜，

当x＝m时，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2+或2﹣（舍去），

综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．