Question

【题目】如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），

∴k=﹣1×4=﹣4；

（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，

∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，

∴C（﹣2，0），

∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△OCD= ×2×2=2

（3）解：存在．

当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），

∵S△ODQ=S△OCD，

∴点Q和点C到OD的距离相等，

而Q点在第四象限，

∴Q的横坐标为﹣b，

当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），

∵点Q在反比例函数y=﹣ 的图象上，

∴﹣b2b=﹣4，解得b=﹣ 或b= （舍去），

∴b的值为﹣ ．

【解析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD ， 所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．