Question

【题目】阅读下面材料：

小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决．

请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是 ．

参考小亮思考问题的方法，解决问题：

（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B=50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；

（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，做∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC=α，则∠M= （直接用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠EOF=∠BEO+∠DFO；（2）65°；（3）90°-α．

【解析】

（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；

（2）由DF∥BC，AC∥EF，推出∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，推出∠DEF+∠F=180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P+∠FGP=∠F+∠FEP，由此即可解决问题；

（3）由∠M=∠FBM+∠CEM=∠FBC+∠CEM=（180°-α）=90°-α即可解决问题.

（1）如图1中，

∵OP∥AB

∴∠EOP=∠BEO，

∵AB∥CD，

∴OP∥CD，

∴∠FOP=∠DFO，

∴∠EOP+∠FOP=∠BEO+∠DFO，

即：∠EOF=∠BEO+∠DFO；

故答案为：∠EOF=∠BEO+∠DFO．

（2）如图2中，

∵DF∥BC，AC∥EF，

∴∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，

∴∠DEF+∠F=180°-50°=130°，

∵∠P+∠FGP=∠F+∠FEP，

∴∠P=∠F+∠FEP-∠FGP=∠DEF+∠F=65°．

（3）如图3中，

易知∠M=∠FBM+∠CEM，

∵BF∥EC，

∴∠DCE=∠DBF，

∵∠DEC+∠DCE=180°-α，

∠FBM+∠CEM=∠FBC+∠CED=（180°-α）=90°-α．

故答案为90°-α．