Question

【题目】如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，CG⊥AD于点G．

（1）求证：GC是⊙F的切线；

（2）填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 ．

②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】证明见解析（2）60（3）30°

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；

（2）①根据平行线的性质得出△BCF∽△BDA，得出，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，即可得出结果；

②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．

试题解析：（1）∵AB=AD，FB=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切线；

（2）解：①∵CF∥AD，

∴△BCF∽△BDA，

∴=，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，

∴△BDA的面积=4△BCF的面积=4×15=60；

故答案为：60；

②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：

∵CG⊥CF，∠GCD=30°，

∴∠FCB=60°，

∵FB=FC，

∴△BCF是等边三角形，

∴∠B=60°，CF=BF=AB，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，CF=AD，

∴∠A=60°，

∵AF=EF，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=AF=AB=AD，

∴CF=DE，

又∵CF∥AD，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∵CF=EF，

∴四边形EFCD是菱形；

故答案为：30°．