Question

【题目】已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GH∥EP，交CD于点H，且∠1=∠2．

（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延长FP交AB于点Q，如图1，

∵PE∥HG，

∴∠GPE=∠HGP，

∵∠GPE=∠1+∠PQE，∠HGP=∠2+∠HFG，

∵∠1=∠2，

∴∠PQE=∠HFG，

∴AB∥CD

（2）

解：延长FP交CD于点Q，如图2，

∠EPF+ ∠BEP=270°，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠BEP+∠FQP=180°，

∵将射线FC沿FP折叠，

∴∠QFP=∠PFJ，

∵JK∥AB，

∴JK∥CD，

∴∠FJK=2∠CFP，

∵∠EPF=∠EQF+∠QFP，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+∠QFP，

∵JK平分∠EJF，

∴∠FJK=∠KJE，

∵JK∥CD，

∴∠KJE=∠FQP，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+ ∠FJK，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+ ，

∴∠EPF+ ∠BEP=270°

（3）

解：延长FP交AB于点Q，如图3，

∵AB∥CD，

∴∠CFQ=∠PQE，

∵将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，

∴∠CFP=∠PFM，∠MEP=∠PEQ，

∵∠FPE=∠PQE+∠PEQ，

在四边形FPEM中，

∠PFM+∠MEP+∠FPE=360°﹣90°=270°，

可得：2∠FPE=270°，

∴∠FPE=135°

【解析】（1）延长FP交AB于点Q，根据三角形的外角性质和平行线性质证明即可；（2）延长FP交CD于点Q，根据折叠和平行线的性质解答即可；（3）延长FP交AB于点Q，根据折叠和四边形的内角和进行分析解答．
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．