Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：

将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3

方法二：

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

（2）

解：方法一：

连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

∵点A、B关于直线l对称，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；

当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）

方法二：

连接BC，

∵l为对称轴，

∴PB=PA，

∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）

（3）

解：方法一：

抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：

m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：

m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）．

方法二：

设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），

∵△MAC为等腰三角形，

∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，

（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，

（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，

（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，

经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，

综上可知，符合条件的点有4个，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）

（4）

解：作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，

作HG⊥AO，垂足为G，

∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，

∴∠GHO=∠GAH，

∴△GHO∽△GAH，

∴HG2=GOGA，

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴lAC：y=3x+3，H（﹣ ， ），

∵H为OO′的中点，

∴O′（﹣ ， ），

∵D（1，4），

∴lO′D：y= x+ ，lAC：y=3x+3，

∴x=﹣ ，y= ，

∴Q（﹣ ， ）

【解析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数．