Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上点D处，且使ED⊥BC．
（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE= BE．理由如下：

Rt△ABC中，∠A=60°，得∠B=30°．

则在Rt△BDE中有DE= BE．

由对折可知AE=DE，则AE= BE

（2）证明：由∠C=90°，ED⊥BC得DE∥AC，

∴∠DFC=∠EDF=∠A=60°，

∴DF∥AE．

∴四边形AEDF是平行四边形．

又AE=ED，

∴平行四边形AEDF是菱形

【解析】（1）在Rt△ABC中，由直角三角形的性质：两锐角互余得∠B=30°，则在Rt△ADE中有DE=BEsin30°= BE，又由对折可知AE=DE，则AE= BE；（2）易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，所以DF∥AE． 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得，四边形AEDF是平行四边形．
又AE=ED，所以邻边相等的平行四边形AEDF是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．