Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AF．

(1)求证：四边形BDCF为菱形：

(2)若四边形BDCF的面积为24，CE：AC=2：3，求AF的长．

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2)

【解析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，再证CD=BD即可；

（2）设CE=2x，AC=3x，求出BC=4x，DF=AC=3x，根据菱形的面积公式求出x，再根据勾股定理求出AF即可．

解：(1)证明：DE⊥BC,∠ACB=90°，

∴∠BED=∠ACB，

∴DF∥AC，

∵CF∥AB，

∴四边形ADFC是平行四边形，

∴AD=CF，

∵D为AB的中点，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∵BD∥CF，

∴四边形BDCF是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴DC=BD，

∴四边形BDCF是菱形；

(2)∵CE：AC=2：3，

∴设CE=2x，AC=3x，

∵四边形BDCF是菱形，

∴BE=CE=2x，

∴BC=4x，

∵四边形ADFC是平行四边形，

∴DF=AC=3x，

∵四边形BDCF的面积为24，

∴×BC×DF=24，

∴4x3x=24，

解得：x=2(负数舍去)，

∴CE=4，DF=6，

∴AC=6，EF=DF=3

作FG⊥AC交AC的延长线于点G，可得矩形ECGF,

∴FG=CE=4，AG=AC+CG=6+3=9,

在Rt△AFG中，

由勾股定理得，AF=.