Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：（1）连接AQ，如图1，

∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴ ．
∵OA=OB，
∴ ．
又∵∠AOQ=∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴ ．
故A正确．
2）如图1，

∵△OBP∽△OQB，
∴ ．
∴ ．
∵AQ≠OP，
∴ ．
故C不正确．
3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ= AC．
∵OR= AB．
∴ = ， =2．
∴ ≠ ．
∴ ．
故B不正确．
4）如图2，

∵ ，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴ ．
∵AB≠AP，
∴ ．
故D不正确．
故选：A．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质)，还要掌握三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半)的相关知识才是答题的关键．