Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点（点分别在轴的左右两侧）两点，与轴的正半轴交于点,顶点为,已知点.

⑴.求点的坐标；

⑵.判断△的形状，并说明理由；

⑶.将△沿轴向右平移个单位（）得到△.△与△重叠部分（如图中阴影）面积为,求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）．C（0，3）；（2）△CDB为直角三角形．理由见解析；（3）S=．

【解析】

试题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；

（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形；

（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

（II）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．

试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=-（x-1）2+c上，

∴0=-（-1-1）2+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=-（x-1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=-1或x=3，∴B（3，0）．

（2）△CDB为直角三角形．理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．

如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB-OM=2．

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM-MN=DM-OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=-1，b=3，

∴y=-x+3，

直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=-（x-t）+3=-x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=-2，n=6，

∴y=-2x+6．

连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）．

在△COB向右平移的过程中：

（I）当0＜t≤时，如答图2所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3-t．

设QE与BD的交点为F，则：

，解得，

∴F（3-t，2t）．

S=S△QPE-S△PBK-S△FBE=PEPQ-PBPK-BEyF=×3×3-（3-t）2-t2t=-t2+3t；

（II）当＜t＜3时，如答图3所示：

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3-t．

直线BD解析式为y=-2x+6，令x=t，得y=6-2t，

∴J（t，6-2t）．

S=S△PBJ-S△PBK=PBPJ-PBPK=（3-t）（6-2t）-（3-t）2=t2-3t+．

综上所述，S与t的函数关系式为：

S=．