Question

【题目】已知：点O为直线AB上一点，∠COD=90°，射线OE平分∠AOD．

（1）如图①所示，若∠COE=20°，则∠BOD= °．

（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；

（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，∠BOD和∠COE的数量关系是否发生变化？并请说明理由．

（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系： ．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE．（3）∠BOD=2∠COE；（4）∠BOD+2∠COE=360°

【解析】

试题分析：（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOE度数，根据∠AOC=∠AOE﹣∠COE、∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得∠BOD度数；

（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°﹣∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；

（3）由互余得∠DOE=90°﹣∠COE，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=180°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；

（4）由互余得∠DOE=∠COE﹣90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOD可得；

解：（1）∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣20°=70°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，

∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣140°=40°．

（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：

∵∠COD=90°，

∴∠DOE=90°﹣∠COE，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=90°﹣∠COE，

∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，

∵A、O、B在同一直线上，

∴∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD

=180°﹣90°﹣（90°﹣2∠COE）

=2∠COE，

即：∠BOD=2∠COE．

（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠EOD，

∵∠BOD+∠AOD=180°，

∴∠BOD+2∠EOD=180°．

∵∠COD=90°，

∴∠COE+∠EOD=90°，

∴2∠COE+2∠EOD=180°，

∴∠BOD=2∠COE；

（4）∵∠COD=90°，

∴∠DOE=∠COE﹣90°，

又∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，

∴∠BOD=180°﹣∠AOD

=180°﹣2∠COE+180°

=360°﹣2∠COE，

即：∠BOD+2∠COE=180°．

故答案为：（1）40°，（4）∠BOD+2∠COE=360°．