Question

【题目】如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=6千米，∠CAB=15°，∠CBA=30°．因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，

∵∠B=30°，∠CAB=15°，

∴∠ACD=45°．

在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，

∴CD=AD=3 ，

在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3 ，

∴AB=6 ，

答：改直后的公路AB的长为6 千米

（2）解：在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3 ，

∴BD=3

∴BC=3 ﹣3 ，

AC+BC﹣AB=6+3 ﹣3 ﹣6

=6+3 ﹣9 （1分）

答：公路改直后该段路程比原来缩短了（6+3 ﹣9 ）千米．

【解析】（1）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，推出CD=AD=3 ，在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3 ，推出AB=6 ，即可解决问题；（2）根据AC和BC的长度，即可得出公路改直后该段段路程比原来缩短的路程。