Question

【题目】“8字”的性质及应用：

（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（2）图②中共有多少个“8字”？

（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可；
（2）根据题中给出的“8字”的概念解答即可；
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可．

（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，

又∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）解：图②中有：ABCD、BECD、ABED，3个“8字”；

（3）证明：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，

∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，

∴∠E＝（∠A+∠C）．