Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°
【解析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及∠ABC+∠ADC=180°．证明∠ADC=90°，即可证得结论。
（2）根据已知∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，可求出∠∠FDC的度数，再根据直角三角形两锐角互余，求出∠DCO的度数，再根据OC=OD得出∠DCO=∠ODC，然后根据∠BDF=∠ODC﹣∠FDC，即可求出答案。