Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）求∠CON的度数；

（2）如图2是将图1中的三角板绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周的情况，在旋转的过程中，第t秒时，三条射线OA、OC、OM构成两个相等的角，求此时的t值

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3（使ON在∠AOC的外部），图4（使ON在∠AOC的内部）请分别探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）t为4，16，10或22秒；（3）ON在∠AOC的外部时，∠NOC -∠AOM=30°；ON在∠AOC的内部时，∠AOM-∠NOC=30°，理由见解析

【解析】

（1）根据角的和差即可得到结论；
（2）在图2中，分四种情况讨论：①当∠COM为60°时，②当∠AOM为60°时，③当OM可平分∠AOC时，④当OM反向延长线平分∠AOC时，根据角的和差即可得到结论；
（3）ON在∠AOC的外部时和当ON在∠AOC内部时，分别根据角的和差即可得到结论．

(1)已知∠AOC=60°，MO⊥ON，

∴∠AON=90°，

∴∠CON=∠AON+∠AOC=150°；

(2)∵∠AOC=60°，

①当∠COM为60°时，

旋转前∠COM为120°，故三角板MON逆时针旋转了60°，旋转了4秒；

②当∠AOM为60°时，

旋转前∠AOM为180°，OM不与OC重合，

故三角板MON逆时针旋转了240°，旋转了16秒；

③当OM可平分∠AOC时，

∠MOB=180°-30°=150°，故三角板MON逆时针旋转了150°，旋转了10秒；

④当OM反向延长线平分∠AOC时，

，

故三角板MON逆时针旋转了330°，旋转了22秒，

综上t为：4，16，10或22秒；

(3) ∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

当旋转到如图，ON在∠AOC的外部时，

∴∠AOM=60°+∠COM，∠NOC=90°+∠COM，

∴∠NOC -∠AOM=30°；

当旋转到如图，ON在∠AOC的内部时，

∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=30°．