Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，

（1）求证：DB=DE

（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）48.

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形，BD是中线，可知∠DBC=30°，由CE=CD，∠ACD=60°可求得∠DCE=30°，即∠DBC=∠DCE，则DB=DE；

（2）根据Rt△DCF中∠FCD=30°知CD=2CF=4，即可知AC=8，则可求出△ABC的周长.

（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角对等边）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，DF⊥BE.

∴∠CDF=30°，

∵CF=4，

∴DC=8，

∵AD=CD，

∴AC=16，

∴△ABC的周长=3AC=48.