Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∠B，∠C的平分线相交于点O，OM∥AB，ON∥AC分别与BC交于点M、N，则△OMN的周长为____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

首先根据勾股定理求出BC=3，然后由平行线的性质和角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠ABC=∠OMC，根据三角形外角的性质可得∠OMC=∠OBC+∠MOB，即可证明∠OBC=∠MOB，得到OM=MB，同理可得ON=NC，进而可得△OMN的周长就是BC的长.

解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，

∴，

∵BO平分∠ABC，OM∥AB，

∴∠OBC=∠ABC，∠ABC=∠OMC，

又∵∠OMC=∠OBC+∠MOB，

∴∠OBC=∠MOB，

∴OM=MB，

同理可得ON=NC，

∴△OMN的周长=ON+NM+OM=NC+NM+MB=BC=3，

故答案为：3.