Question

【题目】在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为．如图，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．

（）如图，若， ，求直线的函数表达式．

（）若为锐角， ，当取得最小值时，求正方形的面积．

（）当正方形的顶点落在轴上时，直线与直线相交于点， 的其中两边之比能否为？若能，求出的坐标；若不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线的函数表达式为；

（2）；

（3）能，点的坐标可为， ， ， ， ．

【解析】试题分析：（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；（2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；（3）由△OEP的其中两边之比为：1分三种情况进行计算即可．

试题解析：（）过点作于点， 与轴交点为，

∵， ，

∴为正三角形，

∴， ，

∴的坐标为，

∵，

∴，

在中，

，即，

∴，

∴点的坐标为．

设直线的函数表达式为，

把代入，

得，解得，

∴直线的函数表达式为．

（）当时，线段的长最小，

在中，

，

即，

由勾股定理得，

即，

解得，

，

此时， ．

（）能，

∵四边形是正方形，

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

①当与重合时， 是等腰直角三角形（如图）

∴，

在中， ，

∴，

∴，

∴坐标为．

当减小正方形的边长时，点在边上，

的其中两边之比不可能为，

当增加正方形的边长时，存在（如图）

和（如图）两种情况．

②如图所示，当时，

∴，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，即．

在中，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∵，

，

即．

，

此时点的坐标为．

③如图所示，当时，过作轴于点，

延长交轴于点．

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

∴，

设正方形边长为， ，

在中，由勾股定理得，

又∵，

，

在中，由勾股定理得，

，即，

∴，得，

，即．

∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∴，

，

即，

又∵在中， ，

∴, ．

∵是等腰直角三角形，

∴，

则，

此时点的坐标为．

④如图所示，当与重合时， 是等腰直角三角形，

，

即满足条件，此时点的坐标为，

在图的基础上，当正方形的边长减小时，

的其中两边之比不可能为，

当正方形的边长增加时，存在（图）

⑤如图所示，当时，过作轴于点，

记直线交轴于点，

设正方形的边长为， ，则，

在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

∵，

即，

得，

，

在中，

，

是等腰直角三角形，

，则，

四边形是正方形，

∴即，

又，

∴，

，即，

则，

∴是等腰直角三角形，

∴，解得，

即．

且，

∴为等腰直角三角形，∴，

，此时点的坐标为，

综上所述，点的坐标可为， ， ， ， ．