Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）

（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；
（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；
（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，作DH⊥OC于H．

∵四边形AOCB是正方形，A（0，2），P（﹣1，0），

∴∠AOP=∠PHD=∠APD=90°，OA=2，OP=1，

∵∠APO+∠DPH+90°，∠DPH+∠PDH=90°，

∴∠APO=∠PDH，

在△APO和△PDH中，

，

∴△APO≌△PDH，

∴PH=OA=2，DH=OP=1，

∴OH=1，

∴D（1，﹣1）

（2）

解：如图2中，作射线CD，设AD交PC于G．

∵∠GCA=∠GDP=45°，∠AGC=∠PGD，

∴△AGC∽△PGD，

∴ = ，

∴ = ，∵∠AGP=∠CGD，

∴△AGP∽△CGD，

∴∠PAG=∠GCD=45°，

∴∠ACD=90°，

∴CD⊥AC，

∵直线AC的解析式为y=﹣x+2，

∴直线CD的解析式为y=x﹣2，

∴点D在直线CD上

（3）

解：如图3中，连接CG、AC、CD．

∵四边形OABC是正方形，

∴BA=BC，∠GBA=∠GBC，∵BG=BG，

∴△GBA≌△GBC，

∴GA=GC，

∴∠GAC=∠GCA，

∵∠ACD=90°，

∴∠GDC+∠GAC=90°，∠GCB+∠GCA=90°，

∴∠GDC=∠GCD，

∴GC=GD，

∴AG=GD

【解析】（1）如图1中，作DH⊥OC于H．只要证明△APO≌△PDH，推出PH=OA=2，DH=OP=1即可．（2）如图2中，作射线CD，设AD交PC于G．由△AGC∽△PGD，推出 = ，推出 = ，由∠AGP=∠CGD，推出△AGP∽△CGD，推出∠PAG=∠GCD=45°，推出∠ACD=90°，即CD⊥AC，求出直线CD的解析式即可解决问题．（3）如图3中，连接CG、AC、CD．由△GBA≌△GBC，推出GA=GC，只要证明GC=GD即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．