Question

【题目】某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系．

(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；

(2)若该节能产品的日销售利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？

(3)若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）日销售利润不超过1040元的天数共有18天；（3）第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元.

【解析】

（1）这是一个分段函数，利用待定系数法求y与x之间的函数表达式，并确定x的取值范围；
（2）根据利润=（售价-成本）×日销售量可得w与x之间的函数表达式，并分别根据分段函数计算日销售利润不超过1040元对应的x的值；
（3）分别根据5≤x≤10和10<x≤17两个范围的最大日销售利润，对比可得结论．

（1）设线段AB段所表示的函数关系式为y=ax+b（1≤x≤10）；

BC段表示的函数关系式为y=mx+n（10＜x≤30），

把（1,300）、（10,120）带入y=ax+b中得，解得，

∴线段AB表示的函数关系式为y=-20x+320（1≤x≤10）；

把（10,120），（30,400）代入y=mx+n中得，解得，

∴线段BC表示的函数关系式为y=14x-20（10＜x≤30），

综上所述.

（2）由题意可知单件商品的利润为10-6=4(元/件)，

∴当1≤x≤10时，w=4×（-20x+320）=-80x+1280；

当10＜x≤30时，w=4×（14x-20）=56x-80，

∴,日销售利润不超过1040元，即w≤1040，

∴当1≤x≤10时，w=-80x+1280≤1040，解得x≥3；

当10＜x≤30时，w=56x-80≤1040，解得x≤20，

∴3≤x≤20，∴日销售利润不超过1040元的天数共有18天.

（3）当5≤x≤17，第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元.