Question

【题目】（12分）（2015秋万州区期末）在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；

（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；

（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）见解析；（3）DE﹣DF=BG．见解析

【解析】

试题分析：（1）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（2）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；

（3）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE﹣DF=BG．

解：如图1，连结AD．

则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG，

∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，

∴DE=DF=3，

∴BG=6，

∵∠A=45°，

∴△AGB是等腰直角三角形，

∴AB=BG=6，

∴AC=6；

（2）证明：如图2，连结AD．

则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，

即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG；

（3）DE﹣DF=BG，

证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，

即ABDE﹣ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE﹣DF=BG．