Question

【题目】如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝3，AO＝，那么AC的长等于__________ .

Answer 1

【答案】7

【解析】如图，在AC上截取CF=AB，

∵四边形BCDE是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°

∴∠2+∠OCF=90°.

∵∠BAC=90°，

∴∠1+∠OBA=90°.

∵∠1=∠2（对顶角相等），

∴∠OBA=∠OCF.

在△ABO和△FCO中，

∵OB=OC,

∠OBA=∠OCA,

CF=AB,

∴△ABO≌△FCO（ASA）,

.∴OF=AO=，∠AOB=∠FOC,

∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°,

∴△AOF是等腰直角三角形,

,

∴AC=AF+CF=4+3=7.

故答案为:7.

点睛:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形.