Question

【题目】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠BQD=30°，

∴∠QPC=90°，

设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC= QC，即6﹣x= （6+x），解得x=2，

∴AP=2

（2）解：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°，

∵点P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，

∴∠APE=∠BQF，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE= EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE= AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE=3，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

【解析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x= （6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．