Question

【题目】如图，直线：交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足.

（1）点坐标是　 　，　 　．

（2）当点在什么位置时，，说明理由．

（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），10；（2）当的坐标是时，；（3）当为等腰三角形时，点的坐标是或．

【解析】

(1)把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可；

(2)求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可；

(3)分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据(2)即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③.

解：（1）∵，∴当时，，当时，，即的坐标是，的坐标是，∵点与点关于轴对称，∴的坐标是，∴，，，

由勾股定理得：，故答案为：，10．

（2）当的坐标是时，，理由是：∵，，∴，∵，，，∴，

∵和关于轴对称，∴，

在和中，，∴，∴当的坐标是时，．

（3）分为三种情况：

①当时，∵由（2）知，，∴，即此时的坐标是；

②当时，则，∵，∴，

而根据三角形的外角性质得：，∴此种情况不存在；

③当时，则，即，设此时的坐标是，

∵在中，由勾股定理得：，∴，解得：，

即此时的坐标是．∴当为等腰三角形时，点的坐标是或．

故答案为：（1），10；（2）当的坐标是时，；（3）当为等腰三角形时，点的坐标是或．