Question

【题目】如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EP、FG．

（1）如图1，直接写出EF与FG的关系____________；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．

①求证：△FFE≌△PFG；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；

（3）如图3，若点P为CB延长线上的一动点，连接FP，按照(2)中的做法，在图(3)中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）EF⊥FG，EF=FG；（2）详见解析；（3）补全图形如图3所示，EF+BP=EH．

【解析】

（1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG，得出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，求出∠EFG的度数，由“SAS”证得△AEF和△BFG全等，得出EF=FG，即可得出结果；

（2）①由旋转的性质得出∠PFH=90°，FP=FH，证出∠GFP=∠EFH，由SAS即可得出△HFE≌△PFG；

②由全等三角形的性质得出EH=PG，由等腰直角三角形的性质得出EF=AF=BG，因此BG=EF，再由BG+GP=BP，即可得出结论；

（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．

解：（1）如图1所示：

∵点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，

∴AE=AF=BF=BG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，

∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-45°-45°=90°，

∴EF⊥FG，

在△AEF和△BFG中，

，

∴△AEF≌△BFG（SAS），

∴EF=FG，

故答案为：EF⊥FG，EF=FG；

（2）如图2所示：

①证明：由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，

∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠GFP+∠PFE=90°，∠PFE+∠EFH=90°，

∴∠GFP=∠EFH，

在△HFE和△PFG中，

，

∴△HFE≌△PFG（SAS）；

②解：由①得：△HFE≌△PFG，∴EH=PG，

∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠B=90°，

∴EF=AF=BG，

∴BG=EF，

∵BG+GP=BP，

∴EF+EH=BP；

（3）解：补全图形如图3所示，EF+BP=EH．理由如下：

由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，

∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠EFG+∠GFH=∠EFH，∠PFH+∠GFH=GFP，

∴∠GFP=∠EFH，

在△HFE和△PFG中，

，

∴△HFE≌△PFG（SAS），

∴EH=PG，

∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠ABC=90°，

∴EF=AF=BG，

∴BG=EF，

∵BG+BP=PG，

∴EF+BP=EH．