Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．

（1）求证：点E是 的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵AD∥OC，

∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∴∠1=∠2，

∴ = ，即点E是 的中点

（2）证明：在△OCD和△OCB中

，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（3）解：连接BD，

∵DF⊥AB，

∴DG=FG，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，BD= = =16，

∵ DGAB= ADBD，

∴DG= = ，

∴DF=2DG= ．

【解析】（1）连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1=∠A，∠2=∠ODA，加上∠A=∠ODA，所以∠1=∠2，然后根据圆心角、弧、弦的关系可判断点E是 的中点；（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．