Question

【题目】如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)

(1)求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

(2)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？

(3)点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)t＝2；(2)t＝秒；(3)存在，当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分．

【解析】

（1）根据题意求出AP＝2t，BQ＝4t，根据等腰三角形的概念列出方程，解方程即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到QC＝QA，根据勾股定理表示出AQ，根据题意列出方程，解方程即可；

（3）分AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）和2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ两种情况，根据周长公式求出t，根据三角形的面积公式判断即可．

解：(1)由题意得，AP＝2t，BQ＝4t，

则BP＝12﹣2t，

当△PBQ为等腰三角形时，只有BP＝BQ，

∴12﹣2t＝4t，

解得，t＝2；

(2)当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC＝QA，

设BQ＝x，

则＝16﹣x，

解得，x＝3.5，即BQ＝3.5，

∴t＝＝(秒)；

(3)在Rt△ABC中，AC＝＝20，

△ABC的面积＝×AB×BC＝96cm2，

当直线PQ把△ABC的周长分为1：2两部分时，

①当AC+AP+CQ＝2×(BP+BQ)时，20+2t+16﹣4t＝2(12﹣2t+4t)，

解得，t＝2，

则PB＝12﹣4＝8，BQ＝4×2＝8，

则△BPQ的面积＝×PB×QB＝32，

∴四边形CAPQ的面积＝96﹣32＝64，

△BPQ的面积：四边形CAPQ的面积＝1：2，

∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分，

②当2(AC+AP+CQ)＝BP+BQ时，2(20+2t+16﹣4t)＝12﹣2t+4t，

解得，t＝10(不合题意)，

∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两分．