Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．

（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若AB=2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．

Answer 1

【答案】（1）BE=AF，BE⊥AF，理由见解析；（2）证明见解析，GD=．

【解析】

（1）根据正方形的性质可证△BAE≌△ADF（SAS），得到BE=AF，∠ABE=∠DAF，进而得出∠BGA=90°即可；

（2）先利用勾股定理求出AF，进而利用面积求出DN，判断出AG=DN，在判断出DM=AG，即可得出GD是∠MGN的平分线，进而判断△DGN是等腰直角三角形即可得出结论．

解：（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：

四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，

∵DE=CF，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAE+∠AEB=90°，

∴∠BGA=90°，

∴BE⊥AF；

（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF=，

∵S△ADF=AD×FD=AD×DN，

∴DN=，

∵△BAE≌△ADF，

∴S△BAE=S△ADF，

∵BE=AF，

∴AG=DN，

又∵∠AGE=∠DME，∠AEG=∠DEM

∴△AEG≌△DEM（AAS），

∴AG=DM，

∴DN=DM，

∵DM⊥BE，DN⊥AF，

∴GD平分∠MGN，

∴∠DGN=∠MGN=45°，

∴△DGN是等腰直角三角形，

∴GD=DN=．