Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先根据角平分线性质与平行线性质证明∠ABD=∠CDB，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；

（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．

试题解析：（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，

∴∠ABE=∠ABD，

∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，

∴∠CDF=∠CDB，

∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠CDF=∠ABE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，∠A=∠C，

即，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四边形DFBE是矩形．