Question

【题目】关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2 ．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2 ， 求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

解得：k＞ ，

即实数k的取值范围是k＞ ；

（2）

解：∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，

又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2，

∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），

解得：k1=0，k2=2，

∵k＞ ，

∴k只能是2．

【解析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和根与系数的关系的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．