Question

【题目】已知顶点为A的抛物线y＝a(x－)2－2经过点B(－，2)，点C(，2)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；

(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y＝(x－)2－2；(2)△POE的面积为或；(3)点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．

【解析】

（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；

（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得=

＝＝，即OP=FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；

（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．

（1）把点B(－，2)代入y＝a(x－)2－2，

解得a＝1，

∴抛物线的表达式为y＝(x－)2－2，

（2）由y＝(x－)2－2知A(，－2)，

设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得，

解得，

∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，

易求E(0，－1)，F(0，－)，M(－，0)，

若∠OPM＝∠MAF，

∴OP∥AF，

∴△OPE∽△FAE，

∴，

∴OP＝FA＝ ，

设点P(t，－2t－1)，则，

解得t1＝－，t2＝－，

由对称性知，当t1＝－时，也满足∠OPM＝∠MAF，

∴t1＝－，t2＝－都满足条件，

∵△POE的面积＝OE·|t|，

∴△POE的面积为或；

（3）如图，若点Q在AB上运动，过N′作直线RS∥y轴，交QR于点R，交NE的延长线于点S，

设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a，QN＝－2a.

由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，

由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴＝＝，即＝=＝2，

∴QR＝2，ES＝ ，

由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，

解得a＝－，

∴Q(－，)，

如图，若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(－，2)，

如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.

设NE＝a，则N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(，2)．

综上，点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．