Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题:如图 1,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,AE 是∠BAD 的平分线,AB∥DC，求证:AD=AB+DC. 小明发现以下两种方法:

方法 1:如图 2,延长 AE、DC 交于点 F；

方法 2:如图 3,在 AD 上取一点 G 使 AG=AB,连接 EG、CG.

(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明：AD=AB+DC； 用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:

(2)如图 4,在四边形 ABCD 中,AE 是∠BAD 的平分线,E 是 BC 的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°- ∠BCD，求证:CD=CE.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F，证明△ABE≌△FCE（ASA）即可解决问题

方法2：如图3，在AD上取一点G使AG=AB，连接EG、CG．想办法证明DC=DG即可解决问题；

（2）如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．只要证明△CNE≌△CND（ASA）即可解决问题；

（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；

∵AB∥DF，

∴∠B=∠ECF，

∵BE=EC，∠BEA=∠CEF，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB=CF，

∵EA平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAF=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=CD+AB．

方法2：如图3，在AD上取一点G使AG=AB，连接EG、CG．

∵AB=AG，∠BAE=∠GAE，AE=AE，

∴△BAE≌△GAE（SAS），

∴BE=EG=EC，∠AEB=∠AEG，

∴∠EGC=∠ECG，

∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，

∴∠BEA=∠ECG，

∴AE∥CG，

∴∠EAG=∠CGD，

∵AB∥CD，AE∥CG，

∴∠BAE=∠DCG，

∴∠DCG=∠DGC，

∴CD=DG，

∴AD=AB+CD．

（2）证明：如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．

由（1）可知：AN=NM，AE=EM，

∴EN平分∠ANM，

∵∠BAD=60°，MN∥AB，

∴∠MND=∠BAD=60°，

∴∠ENM=∠ENA=60°，

∴∠CND=∠CNE，

∵∠B+∠ECN=180°，∠ABC=180°-∠BCD，

∴∠NCE=∠NCD，∵CN=CN，

∴△CNE≌△CND（ASA），

∴CE=CD．