Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=3秒时，直接写出点N的坐标；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：作NC⊥OA于C，

∵t=3时，AN=3× =5，

∴CN=ANsin∠OAB=5× =4，AC=ANcos∠OAB=5× =3，

∴OC=OA﹣AC=3，

∴N（3，4）

故答案为N（3，4）．

（2）

解：由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

NC=NAsin∠BAO= t = t，

则：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t，

=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．

（3）

解：（解法1）AM=6﹣t，AN= t （0＜t＜6），

∴AC=ANcos∠BAO=t，

①当AM=AN时，6﹣t= t，即 t= ，

②当MN=AN时，则NC垂直平分线段MA，

∴MC=AC=t

∵OM+MC+CA=OA

∴t+t+t=6 解得t=2

③当MN=MA时，设D为线段AN的中点，则 MD垂直平分线段AN

∴AD= AN= ，

又∵cos∠DAM=cos∠OAB （或∵△DAM∽△OAB）

∴ 即 解得 t= ．

综上，当t的值取 2或 或 时，△MAN是等腰三角形．

（解法2）AN= t，NC= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴MC=|OC﹣OM|=|6﹣t﹣t|=|6﹣2t|

Rt△NCM中 NM2=MC2+NC2

∴NM= = ，

∴ ，

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t＜6）；

①当MN=AN时，MN2=AN2

∴ = ，

即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②当MN=MA时，MN2=MA2

∴ =（6﹣t）2，

即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③当AM=AN时，6﹣t= t，即t= ；

综上，当t的值取 2或 或 时，△MAN是等腰三角形．

【解析】（1）作NC⊥OA于C，在Rt△ANC中，求出NC、AC即可解决问题；（2）过点N作NC⊥OA于C．由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t，则：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6，根据二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形方程列出方程即可解决问题．．