Question

【题目】如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

∵CN∥AB，

∴∠1=∠2．

在△AMD和△CMN中，

，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN．

又AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD=AN；

（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，

∴AN=2MN=2，

∴AM= = ，

∴S△AMN= AMMN= × ×1= ．

∵四边形ADCN是平行四边形，

∴S四边形ADCN=4S△AMN=2 ．

【解析】（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM= ，则S四边形ADCN=4S△AMN=2 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．