Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，若射线上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，就称点为线段关于射线的等腰点．

(1)如图， ，

①若，则线段关于射线的等腰点的坐标是_____；

②若，且线段关于射线的等腰点的纵坐标小于1，求的取值范围；

(2) 若，且射线上只存在一个线段关于射线的等腰点，则的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）；（3）或或或

【解析】

（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2，即可解答；
②如图，设以点为圆心， 为半径的圆与直线在第二象限的交点为，作垂直轴于点，C位于D点左侧时满足条件；
（2）如图，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，先求出∠COH=30°，由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，然后讨论几种特殊情况即可找到范围．

解：（1）①如图1中，由题意可知A（0，0），B（2，0），C（0，1），

∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，
∴OP=AB=2，
∴P（0，2）；

②如图，设以点为圆心， 为半径的圆与直线在第二象限的交点为，作垂直轴于点，

，

在中，根据勾股定理得，

的取值范围是；

（2）如下图，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．

由题意C（，1），
∴CH=，OH=1，
∴tan∠COH，
∴∠COH=30°，
当⊙B经过原点时，B（-2，0），此时t=-4，
∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，
∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当-4＜t≤-2时，满足条件，
如下图，当点A在原点时，∵∠POB=60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t=0，

如下图，当⊙B与OC相切于P时，连接BP，

∴OC是⊙B的切线，
∴OP⊥BP，
∴∠OPB=90°，
∵BP=2，∠POB=60°，
∴，

∴，此时，
如下图，当⊙A与OC相切时，同法可得，此时，

观察图形可知，满足条件的t的值为，
综上所述，满足条件t的值为或或或．