Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，A、B（点A在点B的左侧）两点的横坐标是方程的两个根，点D在y轴上其中．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）若P是第一象限位于直线BD上方的一点，过P作于E，过E作轴于H点，作PF∥y轴交直线BD于F，F为BD中点，其中△PEF的周长是；若M为线段AD上一动点，N为直线BD上一动点，连接HN，NM，求的最小值，此时y轴上有一个动点G，当最大时，求G点坐标；

（3）在（2）的情况下，将△AOD绕O点逆时针旋转60°后得到如图2，将线段沿着x轴平移，记平移过程中的线段为，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点，，E，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S平行四边形ABCD=48；（2）G（0，），见解析；（3）满足条件的点S的坐标为或或，见解析.

【解析】

（1）解方程求出A，B两点坐标，在Rt△AOD中，求出OD即可解决问题．

（2）首先证明△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB为边构造正方形EHBJ，连接JN，延长JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，连接JT．在Rt△DMT中，易知MT= DM，根据对称性可知：NH=NJ，推出HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，推出当JT最小时，HN+MM-DM的值最小．如图2中当点M在JQ的延长线上时，HN+MM-DM的值最小，此时M（-，5），作点M关于y轴对称点M′，连接CM′，延长CM′交y轴于点G，此时|CG-MG|最大，求出直线CM′的解析式即可解决问题．

（3）分五种情形分别画出图形，利用菱形的性质，中点坐标公式等知识一一求解即可．

解：（1）由得到x=-2或6；

∴A（-2，0），B（6，0）；

在Rt△ADO中，∵∠AOD=90°，AD=2 ，OA=2；

，

∵OB=6，

∴OD=OB=6，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴S平行四边形ABCD=ABOD=8×6=48；

（2）如图1中，

∵EH⊥OB，

∴∠EHB=90°，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°，

∴△EHB也是等腰直角三角形，

以HE，HB为边构造正方形EHBJ，连接JN，延长JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，连接JT，在Rt△DMT中，易知MT=DM，

∵四边形EHBJ是正方形，

根据对称性可知：NH=NJ，

∴HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，

∴当JT最小时，HN+MM-DM的值最小，

∵JT≤JQ，

∴JT≤OB=6，

∴HN+MM-DM的最小值为6．

如图2中，∵PF∥y轴，

∴∠PFE=∠ODB=45°，

∴△PEF是等腰直角三角形，设PE=EF=a，则PF=a，

由题意2a+a=4+4，

∴a=2，

∵FB=FD，

∴F（3，3），

∴E（1，5），

∴当点M在JQ的延长线上时，HN+MM-DM的值最小，此时M（-，5），作点M关于y轴对称点M′，连接CM′，延长CM′交y轴于点G，此时|CG-MG|最大，

∵C（8，6），M′（，5），

∴直线CM′的解析式为，

∴G（0，）；

（3）存在．设菱形的对角线的交点为J．

①如图3-1中，当O′D″是对角线时，设ES交x轴于T．

∵四边形EO′SD″是菱形，

∴ES⊥O′D″，

∴直线ES的解析式为，

∴T，

在Rt△JTO′中，易知O′J=3，∠TO′J=30°，

∴O′T=2，

，

∵JE=JS，

∴可得S，

②如图3-2中，当EO′=O′D″=6时，可得四边形SEO′D″是菱形，设O′（m，0）．

则有：（m-1）2+52=36，

∴m=1+或1- ，

∴O′（1+，0）或（1-，0）（如图3-3中），

∴D″（1+-3，3），

∴；

∵JS=JO′，

，

③如图3-3中，当EO′=O′D″时，由②可知O′（1-，0）．同法可得

④如图3-4中，当ED″=D″O′=6时，可得四边形ESO′D″是菱形．

设D″（m，3），则（m-1）2+22=36，

∴m=1+4 （图5中情形），或m=1-4，

，

,

∵JD″=JS，

∴可得S（1+3 ，2），

⑤如图3-5中，当D″E=D″O时，由④可知D″（1+4 ，3），

，

，

∵JD″=JS，

∴可得S（1+3，2），

综上所述，满足条件的点S的坐标为或或.