Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题． 点B与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）
（3）若DE=2，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示；

（2）点B在⊙O上
（3）解：∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，

∴AD= AC=4，

设⊙O的半径为r，

则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，

在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，

即r2=42+（r﹣2）2，

解得r=5．

∴⊙O的半径为5

【解析】解： （2）连结OC，如图， ∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
所以答案是点B在⊙O上
（1）先作AC的垂直平分线，然后作⊙O；（2）通过证明OB=OA来判断点在⊙O上；（3）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r2=42+（r﹣2）2 ， 然后解方程求出r即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用点和圆的三种位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r．