Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（1，0），C（0，1），点D为x轴正半轴上的一个动点，点E为第一象限内一点，且CE⊥CD，CE=CD．

（1）试说明：∠EBC＝∠CAB ；

（2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OF∥AC；（3）D(1，0)或D（1+，0）

【解析】

（1）易证△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，且∠ACD=∠ECB，从而得到

△ACD≌△BCE，由全等三角形对应角相等即可得出结论；

（2）作FL⊥OC ，FK⊥OB，易证∠CFL=∠KFD，CF=DF=DE，得到△CFL≌△DFK，由全等三角形对应边相等得到FL=FK，由角平分线判定定理得到OF平分∠COB，从而得到∠COF=∠BOF=45°，即可得到OF∥AC．

（3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G，则△EGC≌△COD，得到E的坐标，由中点坐标公式得到F的坐标，由两点间距离公式得到OF，DF的长．然后分三种情况讨论：①OD=OF，②OD=FD，③OF=FD．

（1）∵A（-1，0），B（1，0），C（0，1），∴AO=CO=BO=1．

∵CO⊥AB，∴AC=BC，△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°，∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD =90°．

又∵CE⊥CD，∴∠ECB+∠BCD =90°，∴∠ACD=∠ECB．

在△ACD与△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠CAB．

（2）OF∥AC．理由如下：

作FL⊥OC ，FK⊥OB，如图，∵CO⊥BO，∴∠LFK =90°，

∵CE=CD，点F是DE的中点，∴CF⊥DE，∴∠CFL+∠LFD =90°．

又∵∠KFD+∠LFD =90°，∴∠CFL=∠KFD．

∵CE⊥CD，点F是DE的中点，∴CF=DF=DE．

在△CFL与△DFK中，∵，∴△CFL≌△DFK，∴FL=FK．

又∵FL⊥OC ，FK⊥OB，∴OF平分∠COB，∴∠COF=∠BOF=45°．

又∵∠CAO =45°，∠BOF=∠CAO，∴OF∥AC．

（3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G．

∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∴∠GCE+∠DCO=90°．

∵∠GCE+∠GEC=90°，∴∠GEC=∠OCD．

∵∠EGC=∠COD=90°，CE=CD，∴△EGC≌△COD，∴GE=OC=1，CG=OD=x，∴E（1，x+1）．

∵F为ED的中点，∴F(，)，∴OF==，DF==．

△ODF为等腰三角形，分三种情况讨论：

①OD=OF，则x=，解得：x=，∴D(，0)；

②OD=FD，则x=，解得：x=±1（负数舍去），∴x=1，∴D(1，0)；

③OF=FD，则=，解得：x=0(舍去)，∴此种情况不成立．

综上所述：D(1，0)或D(，0)．