Question

【题目】阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？

把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点处，即，据以上操作，易证明≌，所以，又因为>∠B，所以∠C>∠B．

感悟与应用：

（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，

① 求证：∠B+∠D=180°；

② 求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）BC-AC=AD；（2）①见解析；②14；

【解析】

（1）在CB上截取CE=CA，连接DE．可证△ACD≌△ECD，得到DE=AD，∠A=∠CED=60°，进一步得到∠CED=2∠CBA，由外角的性质得到∠CBA=∠BDE，由等角对等边得到DE=BE，即可得到结论．

（2）①在AB上截取AE=AD，连接EC．易证△CDA≌△CEA，从而得到∠CEA=∠D，CE=CD．由等量代换得到BC=CE，由等边对等角得到∠B=∠CEB．再由邻补角的性质即可得到结论；

②过C作CF⊥AB于F．设FB=x，CF=h．由等腰三角形三线合一得到FE=BF=x．在Rt△BFC和Rt△FCA中，分别利用勾股定理列方程，求解即可．

（1）BC-AC=AD．理由如下：

如图，在CB上截取CE=CA，连接DE．

∵CD平分∠ACB，同理可证△ACD≌△ECD，∴DE=AD，∠A=∠CED=60°．

∵∠ACB=90°，∴∠CBA=30°，∴∠CED=2∠CBA．

∵∠CED=∠CBA+∠BDE，∴∠CBA=∠BDE，∴DE=BE，∴AD=BE．

∵BE=BC-CE=BC-AC，∴BC-AC=AD．

（2）①在AB上截取AE=AD，连接EC．

∵AC平分∠DAB，∴∠EAC=∠DAC．在△CDA和△CEA中，∵EA=DA，∠EAC=∠DAC，AC=AC，∴△CEA≌△CDA，∴∠CEA=∠D，CE=CD．

∵DC=BC，∴BC=CE，∴∠B=∠CEB．

∵∠CEA+∠CEB=180°，∴∠B+∠D=180°；

②过C作CF⊥AB于F．设FB=x，CF=h．

∵CB=CE，CF⊥BE，∴FE=BF=x．在Rt△BFC中，∵BF2+CF2=BC2，∴①；在Rt△FCA中，②；解方程组①②得：x=3．∴AB=BF+FE+EA=2×3+8=14．