Question

【题目】阅读发现：如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，且交BC于D，我们发现在AB上截取AE=AC，连结DE，可得AB=AC+CD（不需证明）．
（1）探究：如图②，当∠ACB≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，写出结果，并证明；
（2）拓展：如图③，当∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°时，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，且交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：探究：AB=AC+CD．

证明：如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，

∵AD为∠BAC的角平分线时，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED与△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD

（2）解：拓展：AB+AC=CD．

理由：如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED与△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠AED=∠ACD，

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

又∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED，

∴EA+AB=EB=ED=CD，

∴AC+AB=CD．

【解析】（1）探究：在AB上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解；（2）拓展：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和角的平分线的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．