Question

【题目】如图，点A是圆0直径BD延长线上的一点，点C在圆0上，AC=BC，AD=CD．

（1）求证：AC是圆0的切线；
（2）若⊙0的半径为2，求 ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OC ．

∵AC=BC ， AD=CD ， OB=OC ，
∴∠A=∠B=∠1=∠2．
∵∠ACO=∠DCO+∠2，
∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD .
又∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACO=90°，
又点C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线 。
（2）解：由题意可得△DCO是等腰三角形．
∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，
∴∠CDO=∠DOC ， 即△DCO是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2．
在Rt△BCD中，BC= ．
又AC=BC ， ∴AC= ．
如图，作CE⊥AB于点E ．
在Rt△BEC中，∠B=30°，
∴CE= BC= ，
∴S△ABC= ABCE= ×6× = 。
【解析】（1）连接OC ． 根据等边对等角得出∠A=∠B=∠1=∠2．根据角的和差及等量代换得出∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD .根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角得出∠BCD=90°，从而得出∠ACO=90°，又点C在⊙O上，根据切线的判定定理得出AC是⊙O的切线；
（2）根据三角形的外角定理得出∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，又∠A=∠B=∠1=∠2．从而得出∠CDO=∠DOC，又△DCO是等腰三角形，从而得出△DCO是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，然后由勾股定理得出BC的长度，又AC=BC，从而得出AC的长度，作CE⊥AB于点E ． 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出CE的长，进而根据三角形的面积公式计算出结果。